Twierdzenie Rolle'a

Twierdzenie Rolle'a to jedno z twierdzeń używanych w analizie matematycznych (najczęściej poznawane jest na I semestrze studiów). Definicja twierdzenia Rolle'a:

Jeżeli dana funkcja f jest:

  • ciągła w przedziale domkniętym <a,b>
  • różniczkowalna w przedziale otwartym (a,b)
  • oraz f(a) = f(b)

to istnieje taki punkt c, że f'(c) = 0

Żeby lepiej zrozumieć twierdzenie Rolle'a zrobimy jedno proste zadanie:








Sprawdź, czy funkcja f(x) = x^2 + 4 x \in <-3,3> spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, jeżeli tak to wyznacz punkt o którym mówi to twierdzenie.

1) badamy czy funkcja jest ciągła w przedziale <-3, 3>

x^2 + 4 to funkcja wielomianowa, jest to funkcja elementarna więc jest to funkcja ciągła.

2) badamy czy funkcja jest różniczkowalna w przedziale (-3,3)

f'(x) = 2x Umiem policzyć pochodną funkcji więc jest ona różniczkowalna. Po wzorze widać, że jest różniczkowalna w całym danym przedziale.

3) sprawdzam czy funkcja spełnia warunek f(-3)=f(3)

f(-3) = 13

f(3) = 13

f(-3) = f(3)

Funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle'a

obliczam więc punkt c:

f'(c) = 0

2c = 0

c = 0

odp: Szukany punkt c = 0.

Zadanie rozwiązaliśmy, ja jednak posłużę się nim, żeby jeszcze trochę przybliżyć twierdzenie Rolle'a. Zerknijmy na wykres funkcji z zadania powyżej:

Twierdzenie Rolle'a

Jak wiemy z twierdzenie punkt, który znajdujemy to taki punkt, którego pochodna równa się zero ( f'(c) = 0). Pochodna jakieś funkcji to nachylenie stycznej do wykresu tej funkcji w danym punkcie, jeżeli pochodna równa jest 0 to styczna jest pozioma (na wykresie oznaczona jest zielonym kolorem). Dzięki temu możemy sobie zapisać twierdzenie Rolle'a trochę prostszymi słowami. Jeżeli funkcja ma dwa punkty w których przyjmuje tą samą wartość (w tym przypadku f(-3) = f(3) = 13) to istnieje taki punkt na wykresie tej funkcji, że jego styczna jest pozioma. Oczywiście nie jest to formalna definicja.

Wzory na całki

Wzory na całki - Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych

\int 0 dx = C

\int a dx = ax + C

\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha+1} + C

\int \frac{1}{x} dx= ln|x| + C

\int a^x dx = \frac{a^x}{lna} + C

\int e^x dx = e^x + C

\int sin x dx = - cosx + C

\int cosx dx = sinx + C

\int \frac{1}{cos^2x} dx = tgx + C

\int \frac{1}{sin^2x} dx = - ctgx + C

\int \frac{1}{1 + x^2} dx = arctgx + C

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = - arcsinx + C

 

 

Ciąg arytmetyczny

Zacznijmy od zapoznania się z definicją ciągu arytmetycznego:

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, którego każdy następny wyraz różni się od poprzedniego o pewną stałą wartość r, zależność tą zapisujemy:

a_{n+1} = a_n + r

Pierwszy wyraz ciągu oznaczamy symbolem a_1. Przykłady ciągów arytmetycznych:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10... a_1 = 1 r = 1

1,3,5,7,9,11,13,15... a_1 = 1 r = 2

25, 20, 15, 10... a_1 = 20 r = -5

Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n = a_1 + (n - 1)r

Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}*n

Własność ciągu arytmetycznego:

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}


Przykładowe zadania:

Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego wiedząc, że jego pierwszy wyraz a_1 = 2 a piąty wyraz a_5 = 14.

Do podania wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego potrzebujemy dwóch wartości: a_1 oraz r. Z polecenia znamy wartość a_1 = 2 pozostało obliczyć różnicę r. Skorzystam z wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

a_5 = a_1 + (5 - 1)r

a_5 = 2 + 4r

14 = 2 + 4r

12 = 4r

r = 3

wzór ogólny ciągu arytmetycznego ma postać: a_n = 2 + 3(n - 1).


Oblicz trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że a_{29} = 100, a_{31} = 110. W tym zadaniu skorzystam z własności ciągu arytmetycznego.

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

a_{30} = \frac{a_{29} + a_{31}}{2}

a_{30} = \frac{100 + 110}{2}

a_{30} = \frac{210}{2}

a_{30} = 105

odp: Trzydziesty wyraz ciągu to 105.


Zbadaj czy ciąg a_n = 2n + 4 jest arytmetyczny.

Żeby udowodnić, że jakiś ciąg jest (lub nie jest) arytmetyczny trzeba zbadać jego różnicę. Do wyznaczenia różnicy wykorzystam definicje ciągu arytmetycznego:

a_{n+1} = a_n + r

r = a_{n+1} - a_n

a_{n+1} = 2(n+1) + 4 = 2n + 6

a_n = 2n + 4

r = (2n + 6) - (2n+4)

r = 2n + 6 - 2n - 4

r = 2

Wniosek: różnica tego ciągu jest stała (nie zależy od n) więc ciąg ten jest arytmetyczny.

Funkcje cyklometryczne (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx)

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Funkcja odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy gdy funkcja pierwotna jest wzajemnie jednoznaczna. Dlatego też przed odwróceniem funkcji trygonometrycznej "obcinamy" ją do pewnych przedziałów.

Funkcja Arcsin(x) [czyt. arkus sinus x]

Funkcję odwrotną do funkcji sinx rozpatrywanej w przedziałach f: [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] -> [-1,1] (ponieważ w tym przedziale funkcja sinx jest wzajemnie jednoznaczna) nazywamy funkcją arcsinx, której dziedziną jest zbiór <-1,1> a zbiorem wartości [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] co możemy zapisać jako: arcsin: [-1,1] -> [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].

wykres funkcji arcsinxNa wykresie przedstawiono:

  • kolorem niebieskim funkcje sinx w przedziale f: [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],
  • kolorem czarnym prosta y=x (wykres funkcji odwrotnej powstaje w wyniku odbicia funkcji pierwotnej  względem prostej y=x),
  • kolorem czerwonym funkcja arcsinx.

Cechy funkcji arcsinx:

Obliczanie wartości arcsinx

do obliczania wartość arcsinx wykorzystuje się prosty wzór:

arcsinx = a  \iff sina = x, przykładowo:

arcsin(1) = \frac{\pi}{2} bo sin(\frac{\pi}{2}) = 1

arcsin(0) = 0 bo sin(0) = 0

Funkcja Arccos(x) [czyt. arkus cosinus x]

Funkcję odwrotną do funkcji cosx rozpatrywanej w przedziałach f: [0, \pi] -> [-1,1] (ponieważ w tym przedziale funkcja cosx jest wzajemnie jednoznaczna) nazywamy funkcją arccosx, której dziedziną jest zbiór <-1,1> a zbiorem wartości [0, \pi] co możemy zapisać jako: arccos: [-1,1] -> [0,\pi].

Wykres funkcji arccosxNa wykresie przedstawiono:

  • kolorem niebieskim wykres funkcji cosx w przedziale [0,\pi]
  • kolorem czarnym wykres funkcji y=x
  • kolorem czerwonym wykres funkcji arccosx

Własności funkcji arccosx:

  • arccosx jest funkcją malejącą
  • arccosx jest funkcją różnowartościową

 Obliczanie wartości arccosx:

do obliczania wartość arccosx wykorzystujemy podobny wzór do tego jakiego używaliśmy, żeby obliczyć wartość arcsinx:

arccosx = a  \iff cosa = x, przykładowo:

arccos(0) = \frac{\pi}{2} (bo cos(\frac{\pi}{2}) = 0)

arccos(1) = 0 (bo cos(0) = 1)

Funkcja Arctg(x) [czyt. arkus tanges x]

Funkcję odwrotną do funkcji tgx rozpatrywanej w przedziałach f: [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] -> R (ponieważ w tym przedziale funkcja tgx jest wzajemnie jednoznaczna) nazywamy funkcją arctgx, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R a zbiorem wartości (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}).

Wykres funkcji arctgxNa wykresie przedstawiono:

  • kolorem niebieskim wykres funkcji tgx w przedziale [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
  • kolorem czarnym wykres funkcji y=x
  • kolorem czerwonym wykres funkcji arctgx

 Własności funkcji arctgx:

  • Funkcja arctgx jest rosnąca.
  • Funkcja arctgx jest nieparzysta.
  • Funkcja arctgx jest różnowartościowa.

Obliczanie wartości funkcji arctgx:

Do obliczania wartości funkcji arctgx wykorzystujemy prosty wzór:

arctgx = a  \iff tga = x, przykładowo:

arctg(0) = 0 (bo tg(0) = 0)

arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}(bo tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3})

Funkcja Arcctg(x) [czyt. arkus cotanges x]

Funkcję odwrotną do funkcji ctgx rozpatrywanej w przedziałach f: [0, \pi]-> R (ponieważ w tym przedziale funkcja ctgx jest wzajemnie jednoznaczna) nazywamy funkcją arcctgx, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R a zbiorem wartości zbiór liczb (0, \pi).

wykres funkcji arcctgxNa wykresie przedstawiono:

  • kolorem niebieskim wykres funkcji ctgx w przedziale (0,\pi]
  • kolorem czarnym wykres funkcji y=x
  • kolorem czerwonym wykres funkcji arcctgx

 Własności funkcji arctgx:

  • Funkcja arcctgx jest malejąca.
  • Funkcja arcctgx jest różnowartościowa.

Obliczanie wartości funkcji arcctgx:

Tak samo jak w poprzednich funkcjach cyklometrycznych do obliczania funkcji można wykorzystać prosty wzór: arcctgx = a  \iff ctga = x, przykładowo:

arcctg(0) = \frac{\pi}{2} (bo ctg(\frac{\pi}{2}) = 0)

arcctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} (bo ctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6})

Funkcja okresowa

Definicja funkcji okresowej

Funkcję f: X -> Y nazywamy funkcją okresową, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista T \neq 0, że dla dowolnego x \in X spełnione są dwa następujące warunki: x + T \in X oraz f(x + T) = f(x). Liczbę T nazywamy okresem funkcji. Najmniejszy dodatni okres funkcji nazywamy okresem podstawowym*.

* - istnieją funkcje, które są okresowe ale nie posiadają okresu podstawowego np. funkcje stałe

Przykład funkcji okresowej: sinx

funkcja okresowaFunkcja sinx jest funkcją okresową z okresem podstawowym T = 2\pi. Jeżeli przykładowo weźmiemy sobie punkt x = 0 dla którego sin(0) = 0 to w punkcie x + T czyli w punkcie x = 2\pi sinus ma taką samą wartość = 0.

Funkcja odwrotna

Definicja funkcji odwrotnej:

Niech f: X->Y będzie funkcją wzajemnie jednoznaczną. Funkcję g: Y->X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f,  jeżeli dla każdego x \in X oraz dla każdego y \in Y mamy spełniony warunek: f(x) = y \iff g(y) = x.

Funkcje odwrotną oznaczamy symbolem: f^{-1}(x).

Żeby na wykresie otrzymać wykres funkcji odwrotnej trzeba zrobić odbicie funkcji względem prostej y = x.

Przykład. Wyznacz funkcje odwrotną do funkcji f: R -> R, f(x) = 2x +4.

Na początku musimy sprawdzić czy funkcja jest wzajemnie jednoznaczna. Jak wiemy z tego artykułu Funkcja jest wzajemnie jednoznaczna jeżeli jest różnowartościowa i na.

1. Sprawdzamy czy f(x) jest 1-1 (różnowartościowa):

zakładam, że x_1, x_2 \in R, x_1 \neq x_2

f(x_1) = 2x_1 + 4

f(x_2) = 2x_2 + 4

Przypuszczam, że f(x_1) = f(x_2)

2x_1 + 4 =2x_2 + 4 / (-4), (:2)

x_1 = x_2 -> sprzeczne z założeniem ( x_1 \neq x_2)

czyli funkcja jest rożnowartościowa

2. Sprawdzamy czy f(x) jest na:

y \in R

z wzoru y = 2x + 4 "wyciągam" x

2x = y - 4

x = \frac{y-4}{2}

funkcja jest na bo jeżeli y \in R to zgodnie z wzorem także x \in R.

3. Jeżeli funkcja jest na i różnowartościowa to jest wzajemnie jednoznaczna czyli istnieje jej funkcja odwrotna. Żeby wyprowadzić wzór na funkcje odwrotną to z funkcji pierwotnej wyciągam x.

x = \frac{y-4}{2} = g(y)

g(y) = \frac{y-4}{2}

Zamieniam y na x i otrzymuje ostateczny wzór funkcji odwrotnej:

g(x) = \frac{x-4}{2}

Funkcja na

Definicja funkcji na:

Funkcja f: X -> Y nazywamy funkcją na, jeżeli dla dowolnego y \in Y istnieje taki argument x \in X, że y = f(x)

Inaczej funkcję na określamy jako suriekcje

Warto pamiętać, że jeżeli funkcja jest jednocześnie na i różnowartościowa to określamy ją jako funkcje jednoznaczną (tzw. bijekcja).

Przykładowe zadania: "Zbadaj czy podana funkcja jest na"

a) f(x) = 2x^2

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Przeciwdziedziną także jest zbiór R

Zbiór wartości tej funkcji to przedział <0,+\infty)

Jak widzimy zbiór wartości jest inny niż przeciwdziedzina dlatego też taka funkcja nie jest na.

(przykładowo weźmy sobie wartość funkcji y = - 2, taka wartość  należy do przeciwdziedziny ale nie należy już do zbioru wartości funkcji - bo nie ma takiego x dla którego f(x) = - 2)

b) f(x) = 2x^2 Y \in <0, +\infty)

W tym przypadku mamy ograniczoną przeciwdziedzinę do zbioru liczb <0,+\infty) więc przeciwdziedzina jest taka sama jak zbiór wartości funkcji. Funkcja ta jest na.

 

 

Równania z jedną niewiadomą - rozwiązywanie

Równanie z jedną niewiadomą to rodzaj równania, w którym występuje jedna zmienna. Przykłady równania z jedną niewiadomą: 2x = 10, 5x + 5 = 15, 10x = 100 itp. Równania w których występują dwie zmienne to na przykład 2x + 4y = 20, tego typu równaniom poświęcimy oddzielny artykuł. W tym można przeczytać o równania z jedną niewiadomą.

Typy równań z jedną niewiadomą:

  1. Równanie tożsamościowe to takie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań – jego rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych R. Przykład: 2x = 2x, za x możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą (w każdym z tych przypadków równanie jest prawdziwe)
  2. Równanie oznaczone to takie, które ma dokładnie jedno rozwiązanie. Przykład: 2x = 10 (rozwiązaniem równania jest liczba 5), x + 3 = 5 (rozwiązaniem równania jest liczba 2).
  3. Równanie sprzeczne to takie, które nie ma ani jednego rozwiązania. Przykładowo 2x + 3 = 2x, nie istnieje żadna liczba dla której to równanie byłoby prawdziwe.

W jaki sposób rozwiązywać równania z jedną niewiadomą?

Przy rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą tak przekształcamy nasze równanie, żeby po jednej stronie otrzymać tylko x a po drugiej jakąś liczbę. Dozwolone metody przekształceń równań:

a) do obu stron równanie możemy dodać taką samą liczbę. Przykład:

x – 3 = 3 / zarówno do lewej jak i do prawej strony równania dodaje 3

x – 3 + 3 = 3 + 3

x = 6

b)  od obu stron równania możemy jednocześnie odjąć taką samą liczbę. Przykład:

x + 3 = 10 / od obu stron odejmuję 3

x + 3 – 3 = 10 – 3

x = 7

c) obie strony równania możemy pomnożyć przez taką samą liczbę (różną od 0)

\frac{1}{2}x = 5 / mnożę obie strony równania przez 2

X = 10

d) obie strony równania możemy podzielić przez tą samą liczbę (różną od 0)

10 x = 10 / dzielę obie strony równania przez 10

x = 1

Przykładowe zadania:

Zadanie nr. 1 - wyznacz x:

a) 2x = 4 / (:2)należy takie równanie podzielić przez 2, otrzymamy:

x = 2

b) x + 5 = 8 / -5  od obu stron równania należy odjąć 5, otrzymamy:

x = 3

c) 2x + 1 = x  / -2x  - od obu stron równania odejmuję 2x, otrzymujemy

1 = -x / obie strony mnożę przez (-1), otrzymujemy:

x = - 1

d) 2x + 10 = 3x + 8 / -2x od obu stron równania odejmuję 2x, otrzymujemy:

10 = x + 8 / -8 od obu stron równania odejmuję 8, otrzymujemy:

2 = x

x = 2


Mamy nadzieję, że rozwiązywanie równań liniowych nie będzie już dla Was problemem 🙂 W przypadku wątpliwości prosimy o pytania w komentarzach.

Obliczanie wartości przybliżonych przy pomocy różniczki

Różniczka funkcji umożliwia nam obliczanie przybliżonych wartości różnych wyrażeń. Najlepiej wytłumaczyć to na przykładzie.

Przykład nr 1.

Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość wyrażenia arcctg(0,99) bez korzystania z tablic trygonometrycznych. Wykorzystamy do tego celu poniższy wzór:

f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)* \Delta x

Mamy dane wyrażenie arcctg(0,99), łatwo potrafimy obliczyć wartość wyrażenia arcctg(1) dlatego załóżmy sobie, że:

x_0 = 1

\Delta x=- 0,01

Obliczmy sobie wartość pochodnej w punkcie  x_0 (żeby    potem tylko podstawić dane do wzoru).

f'(x) = \frac{- 1}{1+x^2}

f'(1) = \frac{- 1}{2}

Możemy więc zapisać:

arcctg(0,99) = arcctg(1)+(\frac{- 1}{2})*(-0,01)

arcctg(0,99) = \frac{\pi}{4}+(\frac{1}{200})

Przykład nr 2.

Oblicz przybliżoną wartość: \sqrt[3]{25}

Umiemy policzyć pierwiastek trzeciego stopnia z 27 dlatego załóżmy sobie, że:

x_0 = 27 \Delta x =-2*f'(27)=\frac{1}{27}

Podstawmy te dane do wzory:

\sqrt[3]{25} =3+ \frac{1}{27}*(-2)

\sqrt[3]{25} = \frac{79}{27}

 

Porównywanie potęg

1) Porównywanie potęg o tej samej podstawie.

Jeżeli chcemy porównać potęgi o tej samej podstawie to porównujemy po prostu ich wykładniki. Ta potęga, która ma większy wykładnik będzie liczbą większą. Od tej zasady jest jeden wyjątek! Jeżeli podstawa potęgi równa jest 1 to niezależnie od wykładnika liczby te będą równe.

Przykłady:

Która liczba jest większa?

a) 2^4 czy 2^8

jak widać podstawy potęg są takie same, porównujemy więc ich wykładniki. Większy wykładnik ma liczba 2^8 (ma wykładnik 8 druga liczba ma wykładnik 4 a 8 > 4). Więc większą liczbą jest 2^8.

b) 5^23 czy 5^24

jak widać podstawy potęg są takie same (wynoszą 5), porównujemy więc ich wykładniki. Większy wykładnik ma liczba 5^24 (ma wykładnik 24 druga liczba ma wykładnik 23 a 24 > 23). Więc większą liczbą jest 5^24.

c) 1^2 czy 1^1000

jak widać podstawy potęg są takie same (wynoszą 1), normalnie porównywalibyśmy ich wykładniki ale jako, że podstawa potęgi wynosi 1 to liczby te są równe.

2) Porównywanie potęg o tym samym wykładniku.

Jeżeli mamy dane dwie potęgi o tym samym wykładniku to większą liczbą będzie ta, która ma w postawie większą liczbę. Wyjątkiem jest sytuacja kiedy wykładnikiem potęgi jest cyfra 0, wtedy obie liczby są sobie równe i wynoszą 1.

a) 2^4 czy 3^4

jak widać wykładniki potęg są takie same, porównujemy więc ich podstawy. Większą podstawę ma liczba 3^4 (3>2) więc to ta liczba jest większa.

b) 44^7 czy 43^7

jak widać wykładniki potęg są takie same, porównujemy więc ich podstawy. Większą podstawę ma liczba 44^7 (44>43) więc to ta liczba jest większa.

c) 1^0 czy 400^0

jak widać wykładniki potęg są takie same normalnie porównalibyśmy ich podstawy ale w tym przypadku trzeba zauważyć, że wykładniki potęg są równe 0 więc liczby te są równe.

3) Porównywanie potęg o różnym wykładniku i różnej podstawie.

Jeżeli musimy porównać potęgi o różnym wykładniku i różnej podstawie to musimy tak przekształcić jedną z liczb by podstawy lub wykładniki obu potęg były takie same.

Która liczba jest większa?

a) 2^4 czy 4^3

zauważmy, że drugą liczbę możemy trochę przekształcić korzystając z wzorów na potęgowanie

4^3 = (2^2)^3 = 2^6 Teraz możemy porównać te dwie liczby i stwierdzić, że skoro mają takie same podstawy to większą liczbą jest ta, która ma większy wykładnik czyli liczba 4^3 = 2^6